錯排問題：6 支筆帽全部裝錯的排列數計算（遞迴公式）

題目

6 支筆，筆身與筆帽顏色一一對應，求全部筆身裝錯筆帽的排列數。選項：A.265 B.266 C.267 D.268

數學模型：錯排數

設 D(n) 為 n 個元素全錯位的排列數（Derangement）。遞迴公式：

D(1) = 0
D(2) = 1
D(n) = (n-1) * [D(n-1) + D(n-2)]  (n >= 3)

逐步計算

• D(1)=0
• D(2)=1
• D(3)=2*(1+0)=2
• D(4)=3*(2+1)=9
• D(5)=4*(9+2)=44
• D(6)=5*(44+9)=265

答案

265，對應選項 A。

程式碼實作 (C)

static int D(int n) {
    if (n == 1) return 0;
    if (n == 2) return 1;
    return (n-1) * (D(n-1) + D(n-2));
}
// 呼叫 D(6) 得 265

通項公式 (補充)

D(n) = n! * Σ_{k=0..n} (-1)^k / k!，近似 n!/e。