為什麼計算自然常數 e 的兩段程式碼結果誤差巨大？

問題背景

在學習 Java 時，許多初學者會嘗試用程式計算自然常數 e（約 2.71828）。公式為：

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

但兩段看似相似的程式碼，輸出結果卻相差甚遠：第一段輸出 2.71828182845，第二段卻只有 2.5868345。這究竟是為什麼？

程式碼對比

正確版本（for 迴圈）

double e = 1.0;
double a = 1.0;
for (int i = 1; i < 30; i++) {
    a = a / i;      // 遞推計算 1/i!
    e = e + a;      // 累加
}
System.out.println("e=" + e); // 輸出 2.71828182845

錯誤版本（while 迴圈）

double e = 1.0, a = 1.0;
double s = 1.0, n = 1.0, b = 0.0;
while (a >= 1e-6) {
    b = n;
    while (n > 0) {   // 這裡重複計算階乘，且修改了 n
        s = s * n;
        n = n - 1;
    }
    a = 1.0 / s;
    e = e + a;
    n++;
    n = ++b;          // 邏輯混亂，導致階乘計算錯誤
}
System.out.println(e); // 輸出 2.5868345

核心問題分析

第二段程式碼的主要缺陷在於：

• 變數重複使用導致邏輯錯亂：n 既用作階乘計算的計數器，又用作外層迴圈的項數控制，內層 while(n>0) 會將 n 歸零，後續 n++ 和 n=++b 試圖恢復卻無法正確對應階乘項數。
• 階乘計算方式錯誤：每次外層迴圈都從頭累乘 s = s * n，但 s 未重置，導致分母急劇增大，項值過快衰減，提前終止迴圈。
• 冗餘變數干擾：b、s 等變數增加理解難度，實際上只需一個遞推變數即可。

正確寫法示範（C 語言）

double e = 1.0, a = 1.0;
double s = 1.0, n = 1.0;
while (a >= 1e-6) {
    a = 1.0 / s;   // 當前項值
    e = e + a;     // 累加
    n++;           // 下一項分母因子
    s = s * n;     // 遞推更新階乘
}
printf("e = %f\n", e); // 輸出 2.718282

關鍵點總結

1. 計算級數求和時，遞推關係（如 term[i] = term[i-1] / i）比重複計算階乘更高效、更不易出錯。
2. 避免在迴圈中對同一變數進行多重用途的修改，保持變數職責單一。
3. 終止條件應根據項值大小（如 1e-6）而非固定次數，但必須確保項值計算正確。

掌握遞推思維，能讓你在處理泰勒展開、數值積分等問題時事半功倍。