C 語言彈跳球問題：計算第 n 次落地總路程與反彈高度

題目重述

皮球從高度 H 自由落下，觸地後反彈至原高度一半，再落下，循環往複。求第 n 次落地時總路程、第 n 次反彈高度。輸入 H、n（長整數範圍），輸出保留一位小數。

數學模型

• 初始下落：H
• 第 1 次反彈上升：H/2，下落：H/2 → 增加 H
• 第 2 次反彈上升：H/4，下落：H/4 → 增加 H/2
• ... 第 i 次反彈增加 H / 2^(i-1)
• 第 n 次落地總路程 = H + 2 * H * (1 - (1/2)^(n-1)) = 3H - H/2^(n-2) (n≥2)
• 第 n 次反彈高度 = H / 2^n

C 語言實作

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void) {
    double H;
    int n;
    printf("Input height: ");
    scanf("%lf", &H);
    printf("Input n: ");
    scanf("%d", &n);

    double distance = H; // 初始下落
    for (int i = 1; i < n; i++) { // 第 1 到 n-1 次反彈各經歷上升+下落
        distance += 2 * H * pow(0.5, i);
    }
    double height = H * pow(0.5, n); // 第 n 次反彈高度

    printf("%.1f %.1f\n", distance, height);
    return 0;
}

樣例驗證

Input:
33 5

Output:
94.9 1.0

手算：33 + 2*(16.5+8.25+4.125+2.0625) = 33 + 61.875 = 94.875 ≈ 94.9；反彈高度 33/32 = 1.03125 ≈ 1.0。

注意事項

• 使用 `double` 儲存高度與路徑，避免整數除法截斷。
• `pow(0.5, i)` 計算 1/2^i，`math.h` 需連結 `-lm` (GCC)。
• 輸出格式 `%.1f` 保留一位小數，符合題目要求。
• 邊界：n=0 視為未落地，依題意 n≥1。

總結

利用等比數列求和公式或迴圈累加均可解決。迴圈寫法直觀易懂，效能在 n 較小（長整數範圍）下完全足夠。