調和級數求和項數計算：C 語言迴圈邊界條件修正

問題描述

計算調和級數 1 + 1/2 + 1/3 + ... 何時超過 15.0。原代碼輸出 1835422，正確答案為 1835421。

錯誤分析

for(i=1; s<15.0; i++) s+=1.0/i;
printf("%ld", i); // 迴圈結束時 i 已多增 1

當 s >= 15.0 滿足退出條件時，i++ 已執行，導致結果偏大 1。

修正方案

for(i=1; ; i++) {
    s += 1.0/i;
    if(s > 15.0) break;
}
printf("%ld", i); // 此時 i 為恰好使和超過 15.0 的項數

數學驗證

調和級數第 n 項和 H_n ≈ ln(n) + γ (γ≈0.577)。解 ln(n) + 0.577 > 15 得 n > e^14.423 ≈ 1.83e6，與結果吻合。

進階優化

大規模求和時，由小到大累加（避免大數吃小數精度損失），或使用 Kahan 求和演算法提升精度。