超市收銀台概率面試題：條件概率建模與計算全過程

題目重述與假設

• 營業 12 小時 (8:00-20:00)。
• 閒時 1 小時 (12:30-13:30)：隊長 0，不可能在第 3 位 → 概率 0。
• 忙時 2.5 小時 (16:30-19:00)：隊長固定 10，必然在第 3 位 → 概率 1。
• 其餘 8.5 小時：隊長均勻分布 1-9 (假設)，≥3 位概率 7/9。
• 5 個收銀台對稱，顧客隨機選台 → 2 號台概率 1/5。

總概率計算 (全概率公式)

P = P(2號台) × [ P(閒時)×P(第3位|閒時) + P(忙時)×P(第3位|忙時) + P(其餘)×P(第3位|其餘) ]
  = (1/5) × [ (1/12)×0 + (2.5/12)×1 + (8.5/12)×(7/9) ]
  = (1/5) × [ 0 + 2.5/12 + 59.5/108 ]
  = (1/5) × [ (22.5 + 59.5) / 108 ]
  = (1/5) × (82/108)
  = 82 / 540
  = 41 / 270 ≈ 0.15185 (15.19%)

關鍵假設討論

• 「其餘時間隊長均勻 1-9」屬於簡化模型，實際應為排隊論模型 (M/M/c)。
• 面試中說明假設並給出計算過程比單一數字更重要。
• 若忙時隊長非固定 10 而是分布，需引入條件期望。