三元一次方程組求解：1.45X - Z = 56 等聯立方程詳解

面對含三個未知數的線性方程組，掌握消元法與代入法是關鍵。本文以實例演示逐步求解過程，並說明無限解的幾何意義。

題目重述

1.45X - Z = 56      (1)
4.10Y - Z = 56      (2)
Z = 1.45X + 4.10Y   (3)

解題步驟

1. 將 (3) 代入 (1) 和 (2)：
   • (1) → 1.45X - (1.45X + 4.10Y) = 56 → -4.10Y = 56 → Y = -56/4.10 ≈ -13.6585
   • (2) → 4.10Y - (1.45X + 4.10Y) = 56 → -1.45X = 56 → X = -56/1.45 ≈ -38.6207
2. 將 X、Y 代入 (3) 求 Z：

   Z = 1.45×(-38.6207) + 4.10×(-13.6585)
     ≈ -56 + (-56)
     = -112
   

3. 驗算：代入原方程組均成立

幾何意義

三個方程代表三維空間中的三個平面，它們在唯一點 (-38.62, -13.66, -112) 相交，故有唯一解。

通用解法對比

常見誤區提醒

• 符號錯誤：移項時漏改正負號
• 精度丟失：過早四捨五入導致驗算不通，建議保留分數或高精度小數
• 假設唯一解：行列式為 0 時可能無解或無限解，需先判斷秩

掌握多種解法並靈活選擇，能高效應對各類線性方程組問題。