基礎算法思維訓練：解決二元一次方程組的編程實現方法

問題描述

已知方程組：
`x + y = 5`
`x - y = 1`
求 `x, y` 值。編程實現求解。

數學解法 (解析解)

兩式相加：`2x = 6` → `x = 3`
代入第一式：`3 + y = 5` → `y = 2`

編程實現三種思路

1. 直接公式法 (最高效、推薦)

#include <stdio.h>

int main() {
    // 方程組: a1*x + b1*y = c1; a2*x + b2*y = c2
    double a1=1, b1=1, c1=5;
    double a2=1, b2=-1, c2=1;

    double det = a1*b2 - a2*b1; // 行列式
    if (det == 0) {
        printf("無唯一解\n");
        return 0;
    }
    double x = (c1*b2 - c2*b1) / det; // 克拉默法則
    double y = (a1*c2 - a2*c1) / det;
    printf("x = %.2f, y = %.2f\n", x, y); // x=3.00, y=2.00
    return 0;
}

2. 高斯消元法 (通用、可擴展到 n 元)

void gaussian_elimination(double a[][3], int n) { // 增廣矩陣 n x (n+1)
    for (int col = 0; col < n; ++col) {
        // 1. 選主元 (部分樞軸)
        int pivot = col;
        for (int row = col+1; row < n; ++row)
            if (fabs(a[row][col]) > fabs(a[pivot][col])) pivot = row;
        if (fabs(a[pivot][col]) < 1e-9) continue; // 奇異
        if (pivot != col) for (int j=col; j<=n; ++j) swap(a[pivot][j], a[col][j]);

        // 2. 歸一化當前行
        double div = a[col][col];
        for (int j=col; j<=n; ++j) a[col][j] /= div;

        // 3. 消去其他行
        for (int row=0; row

// 僅適用於小範圍整數解
for (int x = -100; x <= 100; ++x) {
    for (int y = -100; y <= 100; ++y) {
        if (x + y == 5 && x - y == 1) {
            printf("x=%d, y=%d\n", x, y);
            return 0;
        }
    }
}