C語言課程設計：求和級數 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n 的程式實現與邏輯解析

題目理解與數學模型

這道經典的 C 語言課程設計題目要求計算調和級數的部分和：

S = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

但實際測試案例中，目標是找到使 |8 - S| 最小的項數 n。也就是說，我們要不斷累加級數，直到總和最接近 8 為止。

核心邏輯分析

觀察數值變化：

• n=1 時，S=1，|8-S|=7
• n=2 時，S=1.5，|8-S|=6.5
• n=3 時，S≈1.833，|8-S|≈6.167

隨著 n 增加，S 單調遞增，|8-S| 先減小後增大。當絕對值開始變大時，說明剛剛越過了最接近 8 的點，此時前一項即為答案。

關鍵代碼實現

float flag, temp = 8, s = 1;
for (int i = 1; ; i++) {
    s += 1.0 / i;  // 注意：必須用 1.0 避免整數除法
    if (8 - s < 0) {
        flag = -(8 - s);
    } else {
        flag = 8 - s;
    }
    if (flag < temp) {
        temp = flag;
        continue;
    }
    printf("%f, %d", s, i);
    break;
}

常見坑點提醒

1. 整數除法陷阱：1/i 在 C 語言中會進行整數除法，結果恆為 0。必須寫成 1.0/i 或 (float)1/i。
2. 浮點數精度：使用 float 可能存在精度問題，建議改用 double。
3. 循環終止條件：利用「差值由減轉增」作為跳出依據，屬於典型的「找極值」邏輯。

優化版本建議

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double sum = 0.0;
    double target = 8.0;
    double minDiff = target;
    int bestN = 0;
    
    for (int n = 1; ; n++) {
        sum += 1.0 / n;
        double diff = fabs(target - sum);
        
        if (diff < minDiff) {
            minDiff = diff;
            bestN = n;
        } else {
            // 差值開始變大，說明已經越過最佳點
            printf("最接近 8 的部分和：S = %.10f\n", sum - 1.0/n);
            printf("對應的項數 n = %d\n", bestN);
            break;
        }
    }
    return 0;
}

這個版本邏輯更清晰，輸出也更易讀，適合課程設計提交。