演算法題：礦泉水換購問題（空瓶換飲料）

經典演算法題：給定初始購買 n 瓶礦泉水，m 個空瓶可換 1 瓶新飲料，求最多能喝多少瓶。輸入多組測資，n, m ≤ 2×10⁹，需 O(1) 或 O(log n) 解法。

數學推導

每喝完 1 瓶得 1 空瓶，換購本質是用 m-1 個空瓶換 1 瓶飲料（因換來的飲料喝完又產生 1 空瓶）。總飲用量 = n + (n-1)/(m-1)（整數除法）。

程式碼實作

long solve(long n, long m) {
    if (m <= 1) return n; // 避免除零
    return n + (n - 1) / (m - 1);
}

測試樣例

• n=2, m=2 → 2 + (1)/(1) = 3
• n=5, m=4 → 5 + (4)/(3) = 6

此公式適用於極大數值，無需模擬迴圈，效能極佳。